有限差分作用素の計算法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 01:46 UTC 版)
「有限差分」の記事における「有限差分作用素の計算法則」の解説
微分法則（英語版）と対応して、 定数律: c が定数ならば Δ c = 0 {\displaystyle \Delta c=0} が成り立つ。 線型性: 定数 a, b に対して Δ ( a f + b g ) = a Δ f + b Δ g {\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g} が成り立つ。 この二つの法則は他の差分作用素でも成り立つ。 積の差分: Δ ( f g ) = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g , {\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\,\Delta g,} ∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f − ∇ f ∇ g . {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\,\nabla g.} 商の差分: ∇ ( f g ) = 1 g det ( ∇ f ∇ g f g ) ( det ( g ∇ g 1 1 ) ) − 1 {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{pmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{pmatrix}}\left(\det {\begin{pmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{pmatrix}}\right)^{-1}} あるいは ∇ ( f g ) = g ∇ f − f ∇ g g ⋅ ( g − ∇ g ) , {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}},} Δ ( f g ) = g Δ f − f Δ g g ⋅ ( g + Δ g ) . {\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}.} 和分: ∑ n = a b Δ f ( n ) = f ( b + 1 ) − f ( a ) , {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a),} ∑ n = a b ∇ f ( n ) = f ( b ) − f ( a − 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1).} See Refs
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