有限性の必要十分条件とは? わかりやすく解説

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有限性の必要十分条件

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/06/12 07:41 UTC 版)

有限集合」の記事における「有限性の必要十分条件」の解説

ツェルメロ=フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件全て等価である。 S は有限集合である。すなわち、S の元はある特定の自然数未満自然数集合の元と一対一対応する。 S は、空集合始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法証明可能な属性を持つ。(カジミェシュ・クラトフスキ) S にはある全順序存在し、かつその全順序はどちらの方向にも整列順序となる。すなわち、(ある全順序元に)S の空でない全ての部分集合には最小元と最大元がある。 P(P(S))からそれ自身への一対一関数全単射である。すなわち、S の冪集合冪集合デデキント有限である。 P(P(S))からそれ自身への全射全て一対一対応である。 S の部分集合の空でない族は、いずれも包含関係上の極小元を持つ。(アルフレト・タルスキ) S 上にはある整列順序存在し、かつS上の任意の2つ整列順序順序同型である。言い換えれば、S の整列順序はただ1つ順序型を持つ。 選択公理成り立つ場合、以下の条件全て等価である。 S は有限集合である。 S からそれ自身への一対一関数全単射である。(リヒャルト・デーデキント) S からそれ自身への全射はいずれ一対一対応である。 S は空集合であるか、もしくはS上の任意の半順序極大元を持つ。

※この「有限性の必要十分条件」の解説は、「有限集合」の解説の一部です。
「有限性の必要十分条件」を含む「有限集合」の記事については、「有限集合」の概要を参照ください。

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