有限性条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:31 UTC 版)
群 G の位数 |G| （o(G) や ord(G) などとも書く）とは、G の濃度のことをいう。位数 |G| が有限のとき G は有限群であるといい、無限大のとき G を無限群という。群の重要なクラスに、N 文字の置換群あるいは対称群 SN と呼ばれるものがある。ケーリーの定理（英語版）の示すところによれば、任意の群 G は G 上の対称群の部分群として得られる。有限群論は非常に豊かな理論である。ラグランジュの定理の主張は、有限群 G の任意の部分群 H の位数は G の位数を割り切るということである。これの逆の主張の一部はシローの定理が与えてくれる。これは、pn が G の位数を割り切る最大の p-冪（p は素数）ならば、G は位数 pn の部分群を含むこと、およびそのような部分群の個数についての主張を述べた定理である。有限群の射影極限は射有限群と呼ばれる。射有限群で重要なものは、p-進解析・類体論および l-進コホモロジーで基本的な p-進整数全体の成す環、および Z の射有限完備化であり、それぞれ Z p := lim ← n Z / p n , Z ^ := lim ← n Z / n Z . {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n},\quad {\hat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .} と表される。有限群で性質する事実の多くは、射有限群の場合にもそのまま一般化することができる。 ネーター環やアルティン環の概念と同様の、ある部分群の鎖に関する条件を満たすことを課せば、さらなる性質について論じることができる。たとえば、クルル・レマク・シュミットの定理によれば、部分群の鎖に関するある有限性条件を満足する群は直既約部分群の有限個の直積として一意的に書ける。 ほかにも、少し弱い有限性条件として次のようなものがある。群 G の部分集合 A が G を生成するとは、G の任意の元 h が A の元の有限個の積として表されるときにいう。群 G が有限生成であるとは、G の有限部分集合 A で G を生成するものがとれるときに言う。有限生成群は多くの面で有限群と同じくらい扱いやすい群である。
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