組合せ論的群論と幾何学的群論とは? わかりやすく解説

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組合せ論的群論と幾何学的群論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/06 05:53 UTC 版)

群論」の記事における「組合せ論的群論と幾何学的群論」の解説

群を記述するのには複数方法がある。有限群は、可能な全ての積 g * h によって構成される乗積表書き出すことによって記述することができる。もう一つ主要な方法としては、「生成系生成元)と関係式」によって群を定義する方法であり、これは群の表示と言われる。 群 G の生成系与え任意の集合 F = {gi}i ∈ I が与えられたとき、F の生成する自由群から群 G への全射準同型存在する。この全射準同型は F のある部分集合 D で生成され基本関係のなす部分群呼ばれるこのような群の表示は、ふつう ⟨F | D⟩ と書かれる。例えば、整数全体の成す加法群 Z = ⟨a | ⟩ はただ一つの元 a (= ±1) によって生成され基本関係を持たない(n が 0 でない限り n1 は 0 ではないから)群である。生成元対応する記号からなる文字列は語 (word) と呼ばれる組合せ論群論は、群を生成元と基本関係側面から研究する学問である。これは、特に何らかの有限性条件例え有限生成であるとか有限表示を持つ(つまり、有限生成かつ基本関係が有限しかない)というような条件仮定されている場合有用である。この分野は、その基本群通してグラフ理論との関係を利用することができて、例え自由群任意の部分群が自由であることが示せる。 群を生成元と基本関係によって与え方法から、いくつかの問題自然に生じてくる。語の問題というのは「群の生成元からなる二つの語が、いつその群の同じ元を定めるか」というものである。この問題チューリングマシン関連付けることにより、この問題一般に解決することのできるアルゴリズム存在しないことを示すことができる。同じくらい困難な問題に「異な表示によって与えられる二つの群が、いつ互いに同型となるか」という同型問題がある。例えば、さきほど加法群 Z は ⟨x, y | xyxyx = 1⟩ とも表すことができるが、この表示先ほど表示とが同型な群を与えということは表示だけ見れば自明なことではない。 幾何学的群論とは、語の問題同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象求めるといったような幾何学的な視点から解決試みるものである前者方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路長さとして語の距離が定義できる後者やり方として、ミルナーと Svarc による、(コンパクト多様体のような距離空間 X に適当な方法作用する群 G が与えられれば、群 G は空間 X に擬等長 (quasi-isometric) であるという定理がある。

※この「組合せ論的群論と幾何学的群論」の解説は、「群論」の解説の一部です。
「組合せ論的群論と幾何学的群論」を含む「群論」の記事については、「群論」の概要を参照ください。

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