無限次行列とは? わかりやすく解説

無限次行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)

行列」の記事における「無限次行列」の解説

行または列の数を無限にた行列と呼べるようなものも考えることができるが、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付け集合と列添字付け集合用意して添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい)、それらの各元に対して行列成分矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分無限和として与えられることになり、これは(適当な制約条件抜きにしては一般に定義されない。 R を任意の単位的環とすれば、右 R-加群としての M = ⨁ i ∈ I R {\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R} の自己準同型環は、I × I で添字付けられ、各列の非成分の数が有限個であるような列有限行列の環 CFMI⁡(R)同型である。これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環考えれば同様に各行の非成分の数が有限な有限行列の環 RFMI(R)得られる無限次元行列線型写像記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトル有限個の例外除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。A が適当な基底に関して線型写像 f: V → W を表現するものとすると、それは定義により、空間任意のベクトル基底ベクトルの(有限線型結合として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って(列)ベクトル v の成分 vi で非となるものは有限個に限られるまた、A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非成分有限個である場合に限る。しかし一方で、A の行に関して何の制約もない。事実、v の非成分有限個であるならば、積 Av はその各成分見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非の項が有限しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非成分有限個だから結果として得られる和も非成分有限個になる。(通常は、行と列が同じ集合添字付けられるような)与えられた型の二つの行列の積矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち線型写像合成対応することも確認できる。 R がノルム環ならば、行または列に関する有限性条件緩めることができる。すなわち、有限和代わりに、そのノルムに関する絶対収束級数考えればよい。例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。 この文脈では、収束して連続的な問題生じ適当な制約条件満たすような無限次行列はヒルベルト空間上の作用素記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方行列としての陽な観点曖昧になりがちであり、むしろその代わり関数解析学抽象的でより強力な手法利用できる

※この「無限次行列」の解説は、「行列」の解説の一部です。
「無限次行列」を含む「行列」の記事については、「行列」の概要を参照ください。

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