二つの行列の積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 13:57 UTC 版)
まずは二つの行列を掛け合わせることを考える（任意個数への一般化は後述）。 n × m 行列 A と m × p 行列 B を A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 p b 21 b 22 ⋯ b 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m p ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mp}\end{bmatrix}}} とするとき、これらの行列の積 AB（通例、乗法記号は特に用いずに併置で表す）は、各 (i, j) 成分 cij が A の第 i 行に横に並ぶ成分 aik と B の第 j 列に縦に並ぶ成分 bkj を k = 1, 2, ..., m に亙って足し合わせた和 c i j = ∑ k = 1 m a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}} で与えられる n × p 行列 A B = [ c 11 c 12 ⋯ c 1 p c 21 c 22 ⋯ c 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n 1 c n 2 ⋯ c n p ] {\displaystyle AB={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{np}\end{bmatrix}}} である。従って、積 AB が定義されるのは A の列の本数と B の行の本数が一致している場合に限られる（今の場合は m 本）。
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