無限次元ベクトル空間の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「無限次元ベクトル空間の場合」の解説
一方解析学で頻繁に使われる、無限次元のベクトル空間の場合は、同一のベクトル空間上に複数の同値でないノルムが存在し、それらのノルムがそれぞれ異なる位相構造を定める事になる。例えば[0,1]区間から R {\displaystyle \mathbf {R} } への連続写像全体の集合 C ( [ 0 , 1 ] , R ) = { f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle C([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} } , 連続 } {\displaystyle \}} を写像の和と定数倍に関してベクトル空間とみなすと、各 p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} 対し、Lpノルム ‖ f ‖ p = ∫ [ 0 , 1 ] | f ( x ) | p d x p {\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{[0,1]}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x}}} やL∞ノルム（一様ノルムとも） ‖ f ‖ ∞ = sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|} が定義できるが、これらはpが異なれば異なる位相を定め、実際Lpノルムでは収束するのに別のLqノルムでは収束しない例を作る事ができる。 また無限回微分可能な写像の空間 C ∞ ( [ 0 , 1 ] , R ) = { f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle C^{\infty }([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} } , 無限回微分可能 } {\displaystyle \}} にはLpノルムの一般化であるソボレフノルム ‖ f ‖ k , p = ∑ ℓ = 0 k ∫ [ 0 , 1 ] | f ( ℓ ) ( x ) | p d x p {\displaystyle \|f\|_{k,p}={\sqrt[{p}]{\sum _{\ell =0}^{k}\int _{[0,1]}|f^{(\ell )}(x)|^{p}\mathrm {d} x}}} ‖ f ‖ k , ∞ = max ℓ < k sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( ℓ ) ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|} も定義可能であるが、これらもk、pが異なれば異なる位相を定める。なお、 ‖ ⋅ ‖ k , ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{k,\infty }} の定める位相をCk-位相と呼び、この位相は位相幾何学で図形の連続変形を扱う際重要な役割を果たす。
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