ベクトル空間における特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「ベクトル空間における特徴づけ」の解説
R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の有限次元ベクトル空間（あるいはより一般に有限次元の完備リーマン多様体）の部分集合Xがコンパクトである必要十分条件は、Xが有界閉集合である事である。それに対し無限次元ベクトル空間の場合は有界閉集合であってもコンパクトにならない場合がある。前述のように距離空間においてはコンパクト性は全有界かつ完備な事と同値だが、無限次元のベクトル空間の場合は全有界ではない有界閉集合が存在するからである。 なお、 R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である（リースの補題から直接従う）。ただし以上の議論はVにノルムから定まる位相を入れた場合の話であり、それ以外の位相を入れた場合はこの限りではない。例えばVの双対空間V*に＊弱位相を入れた場合、V*の閉単位球は（たとえV*が無限次元であっても）コンパクトである（バナッハ・アラオグルの定理）。
※この「ベクトル空間における特徴づけ」の解説は、「コンパクト空間」の解説の一部です。
「ベクトル空間における特徴づけ」を含む「コンパクト空間」の記事については、「コンパクト空間」の概要を参照ください。
ウィキペディア小見出し辞書の「ベクトル空間における特徴づけ」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。
お問い合わせ。
- ベクトル空間における特徴づけのページへのリンク
