ベクトル測度の変分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/28 15:30 UTC 版)
ベクトル測度 μ : F → X {\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X} に対し、その変分（variation） | μ | {\displaystyle |\mu |} は | μ | ( A ) = sup ∑ i = 1 n ‖ μ ( A i ) ‖ {\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|} によって定義される。ここで右辺の上限は、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内のすべての A {\displaystyle A} に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割 A = ⋃ i = 1 n A i {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}} に対して取られる。また ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} は X {\displaystyle X} 上のノルムである。 μ {\displaystyle \mu } の変分は [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} に値を取る有限加法的関数である。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内の任意の A {\displaystyle A} に対して ‖ μ ( A ) ‖ ≤ | μ | ( A ) {\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)} が成立する。 | μ | ( Ω ) {\displaystyle |\mu |(\Omega )} が有限であるなら、測度 μ {\displaystyle \mu } は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。 μ {\displaystyle \mu } が有界変分のベクトル測度であるなら、 μ {\displaystyle \mu } が可算加法的であることと | μ | {\displaystyle |\mu |} が可算加法的であることは同値である。
※この「ベクトル測度の変分」の解説は、「ベクトル測度」の解説の一部です。
「ベクトル測度の変分」を含む「ベクトル測度」の記事については、「ベクトル測度」の概要を参照ください。
- ベクトル測度の変分のページへのリンク
