ベクトル束の射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 04:18 UTC 版)
ベクトル束 π1: E1 → X1 からベクトル束 π2: E2 → X2 への射 (morphism) は、連続写像 f: E1 → E2 と g: X1 → X2 の対であって、以下の条件を満たすものである。 g ∘ π1 = π2 ∘ f 任意の x ∈ X1 に対し、f が引起こす写像 π1−1(x) → π2−1(g(x)) は、ベクトル空間の線型写像である。 π1 の全射性により、g は f によって完全に決定される。このことから f は g の被覆と呼ばれる。 ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。ベクトル束の射は、ファイバー束間の束写像の概念の特別な事例であり、（ベクトル）束準同型（写像） (vector bundle homomorphism) ともいう。 E1 から E2 への束準同型で、その逆写像が再び（E2 から E1 への）束準同型であるものを（ベクトル）束同型（写像） (vector bundle isomonprphism) といい、このとき E1 と E2 とは束（として）同型であるという。X 上の（階数 k の）ベクトル束と（X 上の階数 k の）自明束の間の同型写像を E の自明化 (trivialisation) といい、自明化をもつベクトル束 E は自明である、または自明化可能 (trivialisable) であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。 固定した底空間 X の上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。この圏の射として、底空間 X 上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。つまり、以下の図式を可換にする束の射である。 （この圏はアーベル圏ではない。ベクトル束の射の核をベクトル束とする自然な方法は一般に存在しない） ベクトル束 π1: E1 → X1 からベクトル束 π2: E2 → X2 へのベクトル束の射が、写像 g: X1 → X2 を被覆するとき、この射は、X1 上で E1 から引き戻し束（英語版） g∗E2 へのベクトル束の射と見ることもできる。
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