モーレー・カルタンの微分形式

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モーレー・カルタンの微分形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/16 01:32 UTC 版)

数学において、モーレー・カルタンの微分形式 (Maurer–Cartan form) あるいはMaurer–Cartan 形式とは、リー群の上に自然に定められ、群構造の無限小近似を与える1次微分形式のことである。エリ・カルタンによる動標構の理論の中で大きな役割を果たし、この理論に貢献のあったルートヴィヒ・マウラー（英語版） (Ludwig Maurer) とともにその名前が付けられている。

リー群 G の Maurer–Cartan 形式は G のリー環に値をとる微分形式である。このリー環は G の単位元における接ベクトル空間 T_eG と同一視できるため、Maurer–Cartan 形式は G の各点 g における接空間 T_gG から T_eG への写像と見なすことができる。この見方に立つと、Maurer–Cartan 形式は g における接ベクトル X に対して、左から g⁻¹ をかけることで定まる G 上の微分同相による像

${\displaystyle \omega (X)=L_{g^{-1}}X}$

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1. ^ Cartan, Élie (1904). “Sur la structure des groupes infinis de transformations”. Annales scientifiques de l'É.N.S. 21: 153–206. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1904_3_21__153_0.pdf. 

参考文献

• R. W. Sharpe (1996). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 0-387-94732-9 
• Shlomo Sternberg (1964). “Chapter V, Lie Groups. Section 2, Invariant forms and the Lie algebra.”. Lectures on differential geometry. Prentice-Hall. LCCN 64-7993 
• 日本数学会 編『岩波数学辞典』（4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4000803090。