ベクトル束としての説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:07 UTC 版)
「テンソル場」の記事における「ベクトル束としての説明」の解説
テンソル場の概念の現代数学的な表示は二段階の概念に分けることができる。 「（多様体 M に値を取る）パラメータに依存するベクトル空間」の自然な概念として、ベクトル束の概念がある。例えば、「一つの角に依存する一次元ベクトル空間」というのはメビウスの帯や円柱のようなものになる。多様体 M 上のベクトル束 V が与えられたとき、対応する場の概念はベクトル束の切断（英: section）と呼ばれる。これは m が M 上を動くとき、m におけるベクトル空間上のベクトル vm ∈ Vm を一つずつ選ぶものである。 テンソル積の概念は基底の選び方に依らないから、M 上の二つのベクトル束のテンソル積を取ることは各点におけるテンソル積の単純な繰り返しである。接束（接空間全体の成す束）から始めて、テンソルの成分に依らない扱い（英語版）で用いた論法を全体に繰り返し適用すればよい。これはまた導入において述べたとおり座標系に依存しない。 これによって、つまりテンソル束の切断として、テンソル場の定義を与えることができる。（テンソル束ではないようなベクトル束は存在する。例えばメビウスの帯）。この方法は全てを内在的な方法で行うことができるから、従ってこれは幾何学的な内容を保証するものになっている。より正確に言えば、テンソル場は多様体の各点に対して空間 V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} のテンソルを割り当てる。ここで V はその点における接空間であり、V∗ は余接空間である。接束および余接束も参照。 二つのテンソル束 E → M および F → M に対して、E の切断の空間から F の切断の空間への写像 A: Γ(E) → Γ(F) がそれ自体 E∗ ⊗ F のテンソル切断と見做せるための必要十分条件は、各引数に関して A(fs,…) = fA(s, …) が成り立つことである。ただし、f は M 上の滑らかな函数である。つまり、テンソルは切断全体の成すベクトル空間上の線型写像であるだけではなく、切断全体の成す加群上の C∞(M)-線型写像にもなっていなければならない。この性質は例えばリー微分や共変微分はテンソルでないことや、捩れテンソルや曲率テンソルが作り方からテンソルとなることなどの確認に利用できる。
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