ベクトル束としての説明とは? わかりやすく解説

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ベクトル束としての説明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/26 03:07 UTC 版)

テンソル場」の記事における「ベクトル束としての説明」の解説

テンソル場概念現代数学的な表示二段階の概念分けることができる。 「(多様体 M に値を取る)パラメータ依存するベクトル空間」の自然な概念として、ベクトル束概念がある。例えば、「一つ角に依存する一次元ベクトル空間」というのはメビウスの帯円柱のようなものになる多様体 M 上ベクトル束 V が与えられたとき、対応する場の概念ベクトル束切断(英: section)と呼ばれる。これは m が M 上を動くとき、m におけるベクトル空間上のベクトル vmVm一つずつ選ぶものであるテンソル積概念基底選び方に依らないから、M 上二つベクトル束テンソル積を取ることは各点におけるテンソル積単純な繰り返しである。接束接空間全体の成す束)から始めてテンソル成分に依らない扱い英語版)で用いた論法全体繰り返し適用すればよい。これはまた導入において述べたとおり座標系依存しない。 これによって、つまりテンソル束切断として、テンソル場の定義を与えることができる。(テンソル束ではないようベクトル束存在する例えメビウスの帯)。この方法は全て内在的な方法で行うことができるから、従ってこれは幾何学的な内容保証するものになっている。より正確に言えばテンソル場多様体各点に対して空間 V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} のテンソル割り当てる。ここで V はその点における接空間であり、V∗ は余接空間である。接束および余接束参照二つテンソル束 E → M および F → M に対して、E の切断空間から F の切断空間へ写像 A: Γ(E) → Γ(F) がそれ自体 E∗ ⊗ F のテンソル切断と見做せるための必要十分条件は、各引数に関して A(fs,…) = fA(s, …) が成り立つことである。ただし、f は M 上滑らかな函数である。つまり、テンソル切断全体の成すベクトル空間上の線型写像であるだけではなく切断全体の成す加群上の C∞(M)-線型写像にもなっていなければならない。この性質例えリー微分共変微分テンソルでないことや、捩れテンソル曲率テンソル作り方からテンソルとなることなどの確認利用できる

※この「ベクトル束としての説明」の解説は、「テンソル場」の解説の一部です。
「ベクトル束としての説明」を含む「テンソル場」の記事については、「テンソル場」の概要を参照ください。

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