束準同型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
二つの束の間の射(あるいは準同型)としてどのようなものを考えるべきかは、代数的構造としての定義を使えば容易にわかる。二つの束 (L, ∨L, ∧L) および (M, ∨M, ∧M) が与えられたとき、束の射あるいは束準同型とは、写像 f: L → M で f ( a ∨ L b ) = f ( a ) ∨ M f ( b ) , f ( a ∧ L b ) = f ( a ) ∧ M f ( b ) {\displaystyle f(a\lor _{L}b)=f(a)\lor _{M}f(b),\quad f(a\land _{L}b)=f(a)\land _{M}f(b)} をともに満たすものを言う。つまり f は下敷きとなる二つの半束の双方に関して準同型写像となるものである。ただし、束に対してさらに追加の構造を考えている場合には、準同型としてそれらの付加構造に関しても整合的であるようなものを考えるのが普通である。従って例えば、準同型 f が二つの有界束 L, M の間で考えるものであれば、 f ( 0 L ) = 0 M , f ( 1 L ) = 1 M {\displaystyle f(0_{L})=0_{M},\quad f(1_{L})=1_{M}} も同時に満たすべき条件であるとみなされる。これを順序集合論的に定式化するならば、これらの条件は単に、束準同型というのは二元の交わりと結びを保つ写像であると言っているに過ぎない。有界束の場合に最大元と最小元も保つことは、空集合に関する結びと交わりを保つことで言える。 任意の束準同型は付随する順序関係に関して単調である必要があるが、逆は真ではない。つまり、単調性は結びや交わりを保存することを保証しない。一方、順序を保つ全単射が束準同型となるのは、その逆写像がやはり向きを保つときである。 同型写像に関して、それが可逆な準同型であるという意味の標準的な定義に従えば、束同型は単に全単射な束準同型を考えればよく、同様に、束自己準同型は束からその束自身への束準同型であり、また束自己同型は全単射な束自己準同型である。束の全体を対象とし、束準同型を射としてひとつの圏が定まる。
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