自由完備半束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/25 00:58 UTC 版)
完備半束の圏における自由対象を自由完備半束（英: free complete semilattice)）という。 言い換えると 集合 X {\displaystyle X} と完備半束 F X {\displaystyle F_{X}} 及びその間の写像 i : X → F X {\displaystyle i\colon X\to F_{X}} について、 F X {\displaystyle F_{X}} が X {\displaystyle X} を生成系とする自由完備半束であるとは次の普遍性を満たすことである。 任意の完備半束 L {\displaystyle L} 及び写像 j : X → L {\displaystyle j\colon X\to L} に対し、完備半束準同型 j ∗ : F X → L {\displaystyle j^{*}\colon F_{X}\to L} が一意的に存在し j = j ∗ ∘ i {\displaystyle j=j^{*}\circ i} となる。 任意の集合に対しそれの生成する自由完備半束を具体的に構成することができる。 即ち、 （二点以上の元を含む）集合 X {\displaystyle X} に対し、その冪集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} は包含関係を順序として、 X {\displaystyle X} を生成系とする自由完備半束となる（但し、写像 i : X → P ( X ) {\displaystyle i\colon X\to {\mathfrak {P}}(X)} は各元をその元のみからなる一点集合に写す写像）。 普遍性は次のように言える。 完備半束 L {\displaystyle L} 及び写像 j : X → L {\displaystyle j\colon X\to L} が与えられたとき、 j ∗ ( A ) := ⋁ { j ( a ) : a ∈ A } {\displaystyle j^{*}(A):=\bigvee \{j(a)\colon a\in A\}} とすれば j ∗ : P ( X ) → L {\displaystyle j^{*}\colon {\mathfrak {P}}(X)\to L} は j = j ∗ ∘ i {\displaystyle j=j^{*}\circ i} を満たす完備半束準同型となる。
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