代数的構造として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
集合 L および L 上の二項演算 ∨, ∧ からなる代数的構造 (L, ∨, ∧) が束であるとは、L の任意の元 a, b, c に対して以下の公理的な恒等式を満足するときに言う。 可換律結合律吸収律 a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\lor b=b\lor a} a ∨ ( b ∨ c ) = ( a ∨ b ) ∨ c {\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c} a ∨ ( a ∧ b ) = a {\displaystyle a\lor (a\land b)=a} a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\land b=b\land a} a ∧ ( b ∧ c ) = ( a ∧ b ) ∧ c {\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c} a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\land (a\lor b)=a} さらに以下の二つの恒等式を公理として仮定することも多いが、実際には吸収律を二度使うことで導くことが可能である 冪等律 a ∨ a = a , a ∧ a = a . {\displaystyle a\lor a=a,\quad a\land a=a.} これらの公理は (L, ∨) および (L, ∧) がともに半束となることを要請するものである。また吸収律は（公理のうちこれだけが条件式に結びと交わりの両方が現れているので）、これによって束が、単にかってな半束の対ということではなく、対となる二つの半束のあいだに適切な相互関係があることを仮定するものとなっている。特に、互いの半束の間に双対性が見て取れる。 代数的な意味での有界束とは代数的構造 (L, ∨, ∧, 1, 0) であって、(L, ∨, ∧) は束であり、（束の最小元となるべき）0 が結び ∨ に関する単位元で、（束の最大元となるべき）1 が交わり ∧ に関する単位元となるものをいう。さらなる詳細は半束の項に譲る。 束はある種の群に似た代数的構造と関連がある。実際、交わりも結びも結合的かつ可換なので、束を台を共有するふたつの可換半群の対と看做すことができる。有界束ならば、この二つの半群は実際には可換モノイドになる。吸収律だけが、束論に特有の定義式である。 可換性と結合性により、結びや交わりを二項ではなく空でない任意の有限集合上の演算として考えることもできる。有界束の場合には、空集合に関する結び（空和）と空集合に関する交わり（空積）をそれぞれ 0 と 1 として定義することができる。このことは、有界束がある意味で一般の束よりも自然であるという見方を与えるものであって、しばしば、単に束といえば有界束のことを意味するという文献があるので注意が必要である。 このような束の代数的な解釈は普遍代数学において本質的な役割を果たす。
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