代数的整数となる例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
有理数のうち代数的整数となるのは有理整数に限る。即ち Q ∩ A は Z に等しい。有理数 a/b は b が a を割り切らなければ代数的整数とはならない（多項式 bx − a の主係数が b であることに注意）。ほか、非負整数 n の平方根 √n が有理整数となるのは n が平方数のときに限り、それ以外のときは無理数となる。 d が平方因子をもたない整数のとき、拡大 K = Q(√d) は二次体となる。ここで √d はモニック多項式 x2 − d の根であるから、K の代数的整数環 OK は √d をもつ。加えて d が d ≡ 1 (mod 4) を満たすとき、元 1 + √d/2 もまた代数的整数となる。これは、x = 1 + √d/2 を根として持つ二次多項式 x2 − x + 1 − d/4 の定数項（英語版）が、d ≡ 1 (mod 4) のとき整数となるためである。OK は √d と 1 + √d/2 よりそれぞれ生成される。詳細は en:Quadratic integer を参照。 平方因子を持たない互いに素な整数 h, k に対し m = hk2 とし、さらに α = 3√m とする。このとき体 F = Q(α) の整数環は以下の整数底を持つ。 { 1 , α , α 2 ± k 2 α + k 2 3 k if m ≡ ± 1 mod 9 1 , α , α 2 k otherwise {\displaystyle {\begin{cases}1,~\alpha ,~{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&{\mbox{if}}~m\equiv \pm 1\mod 9\\1,~\alpha ,~{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} ζn を 1 の原始 n 乗根とする。このとき円分体 Q(ζn) の整数環は Z[ζn] に等しい。 α が代数的整数ならば n√α もまた代数的整数となる。これは α についての多項式に xn を代入すると n√α についての多項式が得られるためである。
※この「代数的整数となる例」の解説は、「代数的整数」の解説の一部です。
「代数的整数となる例」を含む「代数的整数」の記事については、「代数的整数」の概要を参照ください。
- 代数的整数となる例のページへのリンク
