代数的構造の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:37 UTC 版)
一つの演算によって決まる代数的構造マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。擬群 (quasi-group): a × x = c であるような x が一意に決まるマグマ Loop: 単位元 e を持つ擬群。したがって、任意の元が逆元を持つマグマとも言える。 半群: 結合法則を満たすマグマ モノイド: 単位元を持つ半群 群: 任意の元が逆元を持つモノイド、もしくは結合法則を満たすLoop アーベル群: 可換な群 単位律可逆律結合律消約律可換律擬群× × × ○ × Loop○ ○ × ○ × 半群× × ○ × × モノイド○ × ○ × × 群○ ○ ○ ○ × アーベル群○ ○ ○ ○ ○ 二つの演算によって決まる代数的構造環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群（またはモノイド）であり、分配法則を満たす。 体: 0 でない元が乗法に関して群（またはアーベル群）をなす環 演算と作用によって決まる構造環上の加群: 環の作用するアーベル群 ベクトル空間: 体上の加群算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法（単項算法）と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの（多くの演算によって決まる構造）として統一的に論ずることもできる。 さらに複雑なもの代数（多元環）: 乗法の定義された加群やベクトル空間 結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数 可換代数: 乗法が可換な結合代数 束: 二つの演算が定義されている集合で、演算が冪等で可換で結合的で簡約律（吸収律）を満たすもの。これは順序的構造から定義することもできる。 一般的な代数的構造は普遍代数という数学の分野で研究される。代数的構造はまた、ほかの構造に加えて定義されることもある。位相構造をもつ位相群、位相線型空間、リー群はそのような例である。 どの構造も、それぞれに固有の準同型（構造を保つ写像）の概念を持っている。このことを使って、それぞれの構造を満たすもの全体の圏を考えることができる。
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