加法的関数とは？わかりやすく解説

数論における加法的関数（かほうてきかんすう、英: additive function）とは、正の整数 $n$ についての数論的関数 $f (n)$ であって、任意の互いに素な $a$ と $b$ に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち

f (ab) = f (a) + f (b)

を満たすようなもののことをいう^[1]。加法的関数 $f (n)$ が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、全ての（互いに素でない場合も含む）正の整数 $a$ と $b$ に対して $f (ab) = f (a) + f (b)$ が成立することをいう^{[注釈 1]}。 $f$ が完全加法的関数であるならば、 $f (1) = 0$ である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。

例

完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

対数関数の自然数 $N$ への制限。

素因数 $p$ の $n$ における重複度 (multiplicity)、すなわち $n$ を割り切るような $p m$ の最大のべき指数 $m$ 。

$a 0 (n)$ ： $n$ の重複も含めた素因数の和（オンライン整数列大辞典の数列 A001414）。 $sopfr(n)$ , $n$ のポテンシー (potency)、あるいは $n$ の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：

a 0 (4) = 2 + 2 = 4

a 0 (20) = a 0 (2 2 \cdot 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a 0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a 0 (144) = a 0 (2 4 \cdot 3 2) = a 0 (2 4) + a 0 (3 2) = 8 + 6 = 14

a 0 (2,000) = a 0 (2 4 \cdot 5 3) = a 0 (2 4) + a 0 (5 3) = 8 + 15 = 23

a 0 (2003) = 2003

a 0 (54032858972279) = 1240658

a 0 (54032858972302) = 1780417

a 0 (20802650704327415) = 1240681

$Ω(n)$ ： $n$ の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A001222）。例：

Ω(1) = 0

, なぜならば

1

は素因数を持たないから

Ω(4) = 2

Ω(24) = Ω(2 3 \cdot 3 1) = 3 + 1 = 4

Ω(27) = 3

Ω(144) = Ω(2 4 \cdot 3 2) = Ω(2 4) + Ω(3 2) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 4 \cdot 5 3) = Ω(2 4) + Ω(5 3) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54032858972279) = Ω(11 \cdot 1993 2 \cdot 1236661) = 4

Ω(54032858972302) = Ω(2 \cdot 7 2 \cdot 149 \cdot 2081 \cdot 1778171)= 6

Ω(20802650704327415) = Ω(5 \cdot 7 \cdot 11 2 \cdot 1993 2 \cdot 1236661) = 7

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

$ω (n)$ ： $n$ の異なる素因数の総数（オンライン整数列大辞典の数列 A001221）。例:

ω (4) = 1

ω (20) = ω (2 2 \cdot 5) = 2

ω (27) = 1

ω (144) = ω (2 4 \cdot 3 2) = ω (2 4) + ω (3 2) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 4 \cdot 5 3) = ω (2 4) + ω (5 3) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54032858972279) = 3

ω (54032858972302) = 5

ω (20802650704327415) = 5

$a 1 (n)$ ： $n$ の異なる素因数の和。 $sopf(n)$ とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A008472）。例：

a 1 (1) = 0

a 1 (4) = 2

a 1 (20) = 2 + 5 = 7

a 1 (27) = 3

a 1 (144) = a 1 (2 4 \cdot 3 2) = a 1 (2 4) + a 1 (3 2) = 2 + 3 = 5

a 1 (2000) = a 1 (2 4 \cdot 5 3) = a 1 (2 4) + a 1 (5 3) = 2 + 5 = 7

a 1 (2001) = 55

a 1 (2002) = 33

a 1 (2003) = 2003

a 1 (54032858972279) = 1238665

a 1 (54032858972302) = 1780410

a 1 (20802650704327415) = 1238677

乗法的関数

任意の加法的関数 $f (n)$ を用いて、乗法的関数 $g (n)$ , すなわち、互いに素な $a$ と $b$ に対して

g (ab) = g (a) \times g (b)

を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、 $g (n) = 2 f (n)$ とおけばよい。

脚注

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注釈

^ 可算和と可換であることを意味するσ加法性も「完全加法性」(completely additivity) と呼ぶこともあるが、それとは異なる

出典

^ Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

参考文献

Janko Bračič (2002). “Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions)”. Obzornik mat, fiz. 49 (4): 97–108. MSC (2000) 11A25.

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Additive Function". mathworld.wolfram.com (英語).
additive function - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Additive arithmetic function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] 可算和と可換であることを意味するσ加法性も「完全加法性」(completely additivity) と呼ぶこともあるが、それとは異なる

[Erdos1939-1] Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

[1]

[注釈 1]


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