劣加法的関数

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劣加法性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/02 08:10 UTC 版)

数学の分野における劣加法性（れつかほうせい、英: subadditivity）とは、大まかに言うと、定義域に含まれる二つの元の和についての関数の値が、それら各元についての関数の値の和よりも常に小さいか等しい、という性質のことを言う。数学の様々な研究領域、特にノルムや平方根などに関する領域において、数多くの劣加法的関数の例が知られている。加法的関数は、劣加法的関数の特別な場合である。

定義

劣加法的関数とは、加法について閉じている定義域 A と順序付き余域 B を備え、次の性質

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)\quad (\forall x,y\in A)}$

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劣加法的関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/09 02:06 UTC 版)

「距離空間」の記事における「劣加法的関数」の解説

距離空間 (X, d) と劣加法的な広義単調増加関数 f: R≥0→ R≥0が与えられたとき、f◦d も距離となる。f が原点で 0 を取り連続なとき f◦d は d と同じ位相を定める。特に f(x) = x/(1 + x) は f(0) = 0 となる劣加法的で有界な広義単調増加連続関数なので d ( x , y ) 1 + d ( x , y ) は d と位相を同じくする有界な距離を定める。