劣乗法的函数とは？わかりやすく解説

数学における函数の劣乗法性（れつじょうほうせい、英: submultiplicativity）および乗法性（じょうほうせい、英: multiplicativity）は、函数の乗法に関する振る舞いを記述する性質の一つである。

定義

$R$ を単位的環とする。 $R$ 上の非負実数値函数 $f : R \to R +$ が劣乗法的とは、任意の $a, b \in R$ に対して

f(a\cdot b)\leq f(a)\cdot f(b)

を満たすことを言う。さらに強い評価

f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)

を満足するならば、 $f$ は乗法的であると言う^{[注釈 1]}

単位的環（例えば体）が与えられたとき、劣乗法性を要求することは擬絶対値の公理の一つであり、同様に乗法性は絶対値の公理の一つとして要請される。

更なる例は擬ノルム（ドイツ語版）の項を参照。

^ 数論においては「乗法性」・「乗法的函数」を少しく異なる意味で用い、本項で言う意味での乗法性は「完全乗法的（英語版）」と呼ぶので注意が必要である。それ以外の分野では基本的に本項に言う意味である。^[1]