無限次元ベクトル空間のノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 06:25 UTC 版)
「ノルム」の記事における「無限次元ベクトル空間のノルム」の解説
数列（可算無限次元のベクトル）x = (xn)n=1,2,… に対しても、p-ノルムあるいは lp-ノルム（lp-ノルム） ‖ x ‖ p := ( ∑ n = 1 ∞ | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{p}:=\left(\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}} や、上限ノルム、∞-ノルム、l∞-ノルム（l∞-ノルム） ‖ x ‖ ∞ := sup n ∈ N { | x n | } {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{|x_{n}|\}} などが定義される。また、関数を連続的な添字をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を積分に置き換えて、高々可算な場合と同様に p-ノルムなどを考えることができる。集合 X 上で定義される関数 f(x) に対して p-ノルム（Lp-ノルム）は ‖ f ‖ p , X := ( ∫ X | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p,X}:=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}} が定義される。また ∞-ノルム（L∞-ノルム）が ‖ f ‖ ∞ , X := sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty ,X}:=\sup _{x\in X}|f(x)|} によって定義される。ただし、ルベーグ積分を扱っている文脈では ‖ f ‖ ∞ , X := e s s s u p x ∈ X | f ( x ) | = inf { α : | f ( x ) | ≤ α a.e. x } {\displaystyle \|f\|_{\infty ,X}:=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } \limits _{x\in X}|f(x)|=\inf\{\alpha :|f(x)|\leq \alpha {\mbox{ a.e.}}\,x\}} とする方が自然である。ess sup は本質的上限と呼ばれる値である（測度零の集合における例外を除いて上界となる値の下限）。関数解析学などでは、有界線型作用素（連続な線型写像）の作用素ノルム (operator norm) と呼ばれるノルム ‖ f ‖ = sup x ∈ X ∖ { 0 } ‖ f ( x ) ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}} も重要である。
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