非可算無限

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非可算集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/19 22:13 UTC 版)

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数学において、非可算集合（ひかさんしゅうごう、英語: uncountable set）、あるいは非可算無限集合^[1]とは可算集合でない無限集合のことである。集合の非可算性は基数、濃度という概念と密接に関係している。集合は、その濃度が自然数全体の集合の濃度より大きいときに、非可算である。

特徴づけ

集合の非可算性には多くの同値な言い換えが存在する。集合 X が非可算であることは以下の各条件とそれぞれ同値である：

• X から自然数全体への集合への単射が存在しない。
• X が空でなく、X の要素からなる ω-列をどのようにとっても、その列に入りそこねる X の元が出てくる。すなわち、X が空でなく、自然数集合から X への全射が存在しない。
• X の濃度が有限でも自然数全体の集合の濃度 ${\displaystyle \aleph _{0}}$