連続型確率変数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/31 21:50 UTC 版)
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} において、確率変数 X が実数などの連続値を取る（非可算無限）であるとき（連続型確率変数）、可積分な確率変数 X の期待値は E [ X ] = ∫ Ω X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,dP(\omega )} で定義される。ただし確率変数 X が可積分であるとは、 ∫ Ω | X ( ω ) | d P ( ω ) < ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }|X(\omega )|\,dP(\omega )<\infty } を満たすことであり、この積分は抽象的なルベーグ積分である。 事象 A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} に対して、 E [ X : A ] = E [ 1 A X ] = ∫ A X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X:A]=E[1_{A}X]=\int _{A}X(\omega )\,dP(\omega )} と書いて期待値をとる範囲を A に制限する。ここで 1A は指示関数である。
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