直積分によるスペクトル分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「直積分によるスペクトル分解」の解説
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が有限次元の場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を H = ⨁ λ ∈ σ ( A ) H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (A)}{\mathcal {H}}_{\lambda }} のように直和として表記可能である。ここでAは H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素であり、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} は固有値λに対応する固有空間である。さらに任意の ψ ∈ H λ {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{\lambda }} に対し、 A ( ψ ) = λ ψ {\displaystyle A(\psi )=\lambda \psi } である。 一方 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合には、Aは非可算無限個のスペクトル点を持ちうるので、単純に上式を無限次元に拡張する事はできない。しかしベクトル空間の「直和」の代わりに「直積分」という概念を用いる事で無限次元の場合も同種の公式が成立する事が知られており、これをAの直積分によるスペクトル分解と呼ぶ。本節では直積分の概念を数学的に定式化し、直積分を用いて上式を無限次元の場合に拡張する。
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