有限次元の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:38 UTC 版)
V が有限次元ならば、V* は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, …, en} から双対基底と呼ばれる特別な V∗ の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e1, …, en} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず e i ( c 1 e 1 + ⋯ + c n e n ) = c i ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {e} _{n})=c_{i}\quad (i=1,\ldots ,n)} を満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は e i ( e j ) = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}} に帰着される。ここに δij はクロネッカーのデルタである。例えば V が座標平面 R2 でその標準基底 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} に選べば、e1, e2 は e1(e1) = 1, e1(e2) = 0, e2(e1) = 0, e2(e2) = 1 を満たす線型形式である。 特に Rn を実数を成分とする n-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする n-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その Rn への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。 V が平面上の幾何学的なベクトル（有向線分）からなる空間であるとき、V* の元の等位曲線は V の平行線の族からなる。故に V* の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。より一般に、V を任意有限次元のベクトル空間とするとき、V* に属する線型汎函数の等位集合は V の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる。
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