有限次元の場合の双対基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/25 07:00 UTC 版)
「線型汎函数」の記事における「有限次元の場合の双対基底」の解説
ベクトル空間 V が必ずしも直交しない基底 B = {e1, e2, …, en} を持つとすると、V の双対空間 V* は B の双対基底と呼ばれる基底 { ω ~ 1 , ω ~ 2 , … , ω ~ n } where ω ~ i ( e j ) = δ j i = { 1 if i = j 0 if i ≠ j . {\displaystyle \{{\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}\}\quad {\text{ where }}{\tilde {\omega }}^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j.\end{cases}}} を持つ。ここに δ はクロネッカーのデルタである。ただし、基底余ベクトルの上付き添字は冪ではなく反変添字を意味する。 双対空間 V* に属する線型汎函数 ũ は基底余ベクトルの線型結合として、係数（「成分」）ui を用いて u ~ = ∑ i = 1 n u i ω ~ i {\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}} と書くことができるから、汎函数 ũ を基底ベクトル ej に施せば、余ベクトルのスカラー倍に関する線型性と余ベクトルの和に関する点ごとの線型性により、 u ~ ( e j ) = ∑ i = 1 n ( u i ω ~ i ) e j = ∑ i u i ( ω ~ i ( e j ) ) = ∑ i u i δ i j = u j {\displaystyle {\tilde {u}}(e_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i})e_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}(e_{j}))=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}=u_{j}} を得る。すなわち、線型汎函数の個々の成分はその汎函数を対応する基底ベクトルに施すことによって抽出することができることがわかる。
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