コンパクトな自己共役作用素

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コンパクトな自己共役作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/02/09 04:23 UTC 版)

「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の記事における「コンパクトな自己共役作用素」の解説

ヒルベルト空間 H 上の有界作用素 T が自己共役であるとは、T = T* を満たすこと、あるいは同値であるが を満たすことを言う。全ての x ∈ H に対して は実数となるため、T の固有値は存在するならば常に実数となる。H の閉線型部分空間 L が T の下で不変であるなら、T の L への制限は L 上の自己共役作用素であり、さらに L の直交補空間 L⊥ も T の下で不変である。例えば、その空間 H は二つの T–不変な閉線型部分空間の直交直和に分解することが出来る。そのような二つの空間とはすなわち、T の核とその核の直交補空間 (ker T)⊥（この空間は任意の有界自己共役作用素 T に対し、その値域の閉包となる）である。これらの基本的な事実は、後述のスペクトル定理の証明において重要な役割を果たす。 n × n エルミート行列の分類に関する結果が、次のスペクトル定理である：M = M* であるなら、M はユニタリ対角化可能であり、その対角化行列は実成分を持つ。T をあるヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このような T に対して、同様の次の内容の証明を行う：作用素 T は、それぞれが実固有値に対応するような、ある固有ベクトルの正規直交集合によって対角化することが出来る。

コンパクトな自己共役作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/02 06:05 UTC 版)

「スペクトル定理」の記事における「コンパクトな自己共役作用素」の解説

詳細は「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」を参照 一般にヒルベルト空間において、コンパクトな自己共役作用素に対するスペクトル定理の内容は、有限次元の場合と実質的に同じである。 定理 A をあるヒルベルト空間 V 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このとき A の固有ベクトルで構成されるような V の正規直交基底が存在する。対応する各固有値は実数である。 エルミート行列の場合のように、証明のカギとなるのは、（少なくとも一つの）非ゼロの固有ベクトルの存在である。これを示す際、固有値の存在を示すための行列式の手法に頼ることは出来ないが、代わりに、固有値の変分的特徴付けと同様なある最大化に関する議論を利用することが出来る。そうして上述のスペクトル定理は、実あるいは複素ヒルベルト空間に対しても成立する。 コンパクト性の仮定が除かれた場合、すべての自己共役作用素が固有ベクトルを持つとは限らなくなってしまうので、定理は成立しない。