コンパクトな正規作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/02/09 04:23 UTC 版)
「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の記事における「コンパクトな正規作用素」の解説
エルミート行列の族は、ユニタリ対角化可能な行列の真部分集合である。ある行列 M がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規であること、すなわち M*M = MM* が成立することである。同様の内容がコンパクトな正規作用素に対しても成立する。 T をコンパクトとし、T*T = TT* が成立するものとする。T に対して、以下のデカルト分解を適用する： を定める。自己共役なコンパクト作用素 R および J は、それぞれ T の実部および虚部と呼ばれる。T がコンパクトであることは T* がコンパクトであることを意味し、結果として R および J もコンパクトとなる訳である。さらに、T の正規性から R と J は可換であることが分かる。したがって、それらは同時に対角化可能であり、以下の主張が成立する。 コンパクトな準正規作用素（特に、部分正規作用素（英語版））は、正規作用素である。
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