コンパクトな位相空間上の一様構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「コンパクトな位相空間上の一様構造」の解説
コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は必ず一様連続になる事が知られているが、この事実は一様空間に一般化できる： 定理 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― X、Yを一様空間とし、Xが（X上の一様構造が定める位相に関して）コンパクトであるとする。このときXからYへの連続写像は必ず一様連続になる 上の定理から以下の重要な帰結が従う： 系 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} をコンパクトな位相空間とするとき、Xの一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} で、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} と一致するものは（もし存在すれば）一意である。 なお（位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がコンパクトであっても） O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を定める一様構造は常に存在するとは限らない。前述のようにそのような一様構造が存在する必要十分条件は ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が完全正則である事である。しかし ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がコンパクトな場合は正則ハウスドルフ性を満たせば完全正則である（ウリゾーンの補題（英語版））ので、 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が正則ハウスドルフかつコンパクトであれば O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を定める一様構造が存在する。
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