重要な帰結

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重要な帰結

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/04 13:24 UTC 版)

「ハーン-バナッハの定理」の記事における「重要な帰結」の解説

この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン-バナッハの定理」と呼ばれることがある。 V をノルム線型空間、U をその線形部分空間（必ずしも閉ではない）とし、作用素 φ: U → K は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 ψ: V → K が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる（線型写像のノルムについては「バナッハ空間」を参照されたい）。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 K は入射的対象（英語版）であることを意味する。 V をノルム線型空間、U をその線型部分空間（必ずしも閉ではない）とし、z を、U の閉包に含まれないような V の元とする。このとき、すべての U の元 x に対しては ψ(x) = 0 であり、ψ(z) = 1 および ǁψǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が存在する。 特に、ノルム線型空間 V の任意の元 z に対して、ψ(z) = ǁzǁ かつ ǁψǁ ≤ 1 を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 V からその二重双対 V ′′ への自然な単射は同型であるということを意味する。

重要な帰結

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 00:36 UTC 版)

「ハーン–バナッハの定理」の記事における「重要な帰結」の解説

この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理」と呼ばれることがある。 V をノルム線型空間、U をその線形部分空間（必ずしも閉ではない）とし、作用素 φ: U → K は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 ψ: V → K が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる（線型写像のノルムについては「バナッハ空間」を参照されたい）。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 K は入射的対象であることを意味する。 V をノルム線型空間、U をその線型部分空間（必ずしも閉ではない）とし、z を、U の閉包に含まれないような V の元とする。このとき、すべての U の元 x に対しては ψ(x) = 0 であり、ψ(z) = 1 および ǁψǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が存在する。 特に、ノルム線型空間 V の任意の元 z に対して、 ψ(z) = ǁzǁ かつ ǁψǁ ≤ 1 を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 V からその二重双対 V ′′ への自然な単射は等長写像であるということを意味する。

重要な帰結

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 07:55 UTC 版)

「領域理論」の記事における「重要な帰結」の解説

半順序集合 D が dcpo であるのは、D 中の各鎖が上限を持つとき、かつそのときに限る。 しかし、有向集合は鎖よりもずっと強力である。 最小元をもつ半順序集合 D が dcpo であるのは、D 上のすべての単調関数 f が不動点を持つとき、かつそのときに限る。 もし f が連続なら、最小不動点をもつ。 これは、最小元 0 上での f の有限回の繰り返しすべての上限 ∨n ∈ N fn(0) として与えられる。 領域理論が適用される応用分野に依存して、この他にも多くの帰結がある。

重要な帰結

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:49 UTC 版)

「チェボタレフの密度定理」の記事における「重要な帰結」の解説

チェボタレフの密度定理から、代数体のガロア拡大を分類する問題は拡大での素イデアルの分解を記述する問題に帰着されることがわかる。具体的にいうと、代数体 Kのガロア拡大Lは、この拡大で完全分解する K の素イデアルの集合によって一意的に決定されることがこの定理からわかる。また、Kのほとんどすべての素イデアルがLで完全分解するならば、実際にはL = Kであることがわかる。