ケーニヒの定理と共終数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/02 13:16 UTC 版)
「ケーニヒの定理 (集合論)」の記事における「ケーニヒの定理と共終数」の解説
ケーニヒの定理は基数の共終数に関する重要な帰結も持つ。 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} ならば κ < κ c f ( κ ) . {\displaystyle \kappa <\kappa ^{cf(\kappa )}.\!} κに到達する基数の狭義増加なcf(κ)-列をとるこの列の要素はどれもκ未満であり、それらの和はκで、積はκのcf(κ)個のコピーの直積である。 イーストンの定理によると、次の帰結は正則基数のcontinuum functionに対する唯一の非自明な制限である。 κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} かつ λ ≥ 2 {\displaystyle \lambda \geq 2} ならば κ < c f ( λ κ ) . {\displaystyle \kappa <cf(\lambda ^{\kappa }).\!} μ = λ κ {\displaystyle \mu =\lambda ^{\kappa }\!} としよう。この系の結論に反して、 κ ≥ c f ( μ ) {\displaystyle \kappa \geq cf(\mu )} であったとしよう。先に挙げた系により、 μ < μ c f ( μ ) ≤ μ κ = ( λ κ ) κ = λ κ ⋅ κ = λ κ = μ {\displaystyle \mu <\mu ^{cf(\mu )}\leq \mu ^{\kappa }=(\lambda ^{\kappa })^{\kappa }=\lambda ^{\kappa \cdot \kappa }=\lambda ^{\kappa }=\mu } となり、これは矛盾である。よって、この系の結論は成立しなければならない。
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