重要な性質とは? わかりやすく解説

重要な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/10/24 03:42 UTC 版)

コンパクト作用素」の記事における「重要な性質」の解説

以下、X, Y, Z, W はバナッハ空間であるとし、B(X, Y) を X から Y への有界作用素全体作用素ノルムに関して成すバナッハ空間、K(X, Y) を X から Y へのコンパクト作用素全体の成す空間、B(X) = B(X, X), K(X) = K(X, X), idX は X 上の恒等作用素とする。 K(X, Y) は B(X, Y) の閉部分空間である。Tn (n ∈ N) をバナッハ空間から別のバナッハ空間へのコンパクト作用素の列とし、 Tn作用素ノルムに関して T へ収束するものと仮定すると、T は再びコンパクトである。 作用素合成に関して B ( Y , Z ) ∘ K ( X , Y ) ∘ B ( W , X ) ⊆ K ( W , Z ) {\displaystyle \mathrm {B} (Y,Z)\circ \mathrm {K} (X,Y)\circ \mathrm {B} (W,X)\subseteq \mathrm {K} (W,Z)} が成立する。特に K(X) は B(X)両側作用素イデアルを成す。 idX は X が有限次元であるとき、かつそのとき限りコンパクトである。 任意の T ∈ K(X)対し idX − T は指数 0 のフレドホルム作用素である。特に、im(idX − T) は閉である。これはコンパクト作用素スペクトル特性発展において本質的である。この性質と、M, N がバナッハ空間部分空間で、M が閉、N が有限次元のとき M + N もまた閉となるという事実との類似性指摘するものもいる。

※この「重要な性質」の解説は、「コンパクト作用素」の解説の一部です。
「重要な性質」を含む「コンパクト作用素」の記事については、「コンパクト作用素」の概要を参照ください。

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