直積位相と箱型積位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「直積位相と箱型積位相」の解説
( X λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族するとき、 ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} には以下の２種類の位相が入る。 定義 (直積位相、箱型積位相) ― ( X λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とする。このとき、 全ての射影 p λ : ∏ λ ∈ Λ X λ → X λ {\displaystyle p_{\lambda }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\lambda }} を連続にする最弱の位相を直積位相もしくはチコノフ位相という。 { ∏ λ ∈ Λ O λ ∣ ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle \{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}} を開基とする位相を箱型積位相（英語版）という。 これら２つの位相は有限個の直積 X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} を考えている場合は同一であるが、無限積を考えた場合には箱型積位相のほうが直積位相よりも強い（弱くない）位相になる。これを見るために直積位相を具体的に書き表すと、以下のようになる事が知られている： 定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、直積位相は { ∏ λ ∈ Λ O λ | O λ ∈ O λ {\displaystyle {\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }} , 有限個のλを除いて O λ = X λ } {\displaystyle O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}} を開基とする。 Λが無限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件が原因で、箱型積位相と差が生じる。例えば R 1 , R 2 , … {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , … {\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots } を U = ( 0 , 1 ) {\displaystyle U=(0,1)} の無限個のコピーとするとき、直積 ∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}} は直積位相に関して ∏ i ∈ N R i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}} の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。
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