総乗
(無限積 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/26 22:45 UTC 版)
総乗(そうじょう)とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義
結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)
積が非結合的な場合
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
このとき、 と書くことにすると、
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積
を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
定義
実数や複素数からなる可算列 の無限乗積を定義する。無限乗積 が収束するとは2条件
が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積 が収束するとき、その値を
と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4]。
また数列 に対して無限乗積 が収束するとき、無限乗積 は絶対収束するという[5][3]。無限乗積 が絶対収束するのは無限級数 が絶対収束するとき、かつそのときに限る[6][3]。
例
(はオイラーの定数である)[3][9]。
qポッホハマー記号 [11][12][13]。
注
- ^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
- ^ Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
- ^ a b c d e f 神保道夫、複素関数入門、岩波書店。
- ^ Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
- ^ Konrad 1956, p. 96.
- ^ Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.
- ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
- ^ A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
- ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
- ^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
- ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
- ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
- ^ a b Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
- ^ Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
- ^ Salem, A. (2012). On a -gamma and a -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.
参考文献
- Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807
関連項目
無限積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/26 01:11 UTC 版)
π 4 = 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 7 8 ⋅ 11 12 ⋅ 13 12 ⋅ 17 16 ⋅ 19 20 ⋅ 23 24 ⋅ 29 28 ⋅ 31 32 ⋅ ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdot {\frac {31}{32}}\cdot \,\cdots } (オイラー) 全ての奇素数を分子とし、それに最も近い4の倍数を分母とした分数の総乗。 ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = 4 3 ⋅ 16 15 ⋅ 36 35 ⋅ 64 63 ⋅ ⋯ = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdot \,\cdots ={\frac {\pi }{2}}} (ウォリス積を参照) Viète's formula: 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ ⋯ = 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \,\cdots ={\frac {2}{\pi }}}
※この「無限積」の解説は、「円周率を含む数式」の解説の一部です。
「無限積」を含む「円周率を含む数式」の記事については、「円周率を含む数式」の概要を参照ください。
- 無限積のページへのリンク