ゼータ関数の一般的公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/10 07:33 UTC 版)
「合同ゼータ関数」の記事における「ゼータ関数の一般的公式」の解説
Z ( X , t ) = ∏ i = 0 2 dim X det ( 1 − t Frob q | H c i ( X ¯ , Q ℓ ) ) ( − 1 ) i + 1 . {\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q}}_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.} この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。 ここに X {\displaystyle X} は、q 個の元を持つ有限体 F 上の有限タイプの分離的スキームであり、Frobq は X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。 X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} は F の代数的閉体への X {\displaystyle X} のリフトである。このことは、ゼータ関数が t の有理関数であることを示している。 Z(X, t) の無限積公式は、 Z ( X , t ) = ∏ ( 1 − t deg ( x ) ) − 1 {\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}} である。ここに、積は X の閉点 x 全てを渡り、deg(x) は x の次数である。局所ゼータ関数 Z(X, t) は q-s の変数変換を通して、複素数変数 s の関数と見ることができる。 上で議論した X が多様体 V の場合は、閉点は V ¯ {\displaystyle {\overline {V}}} 上の点 P の同値類 x = [P] のこととなり、2つの点の同値とは F 上で共役なこととなる。x の次数は P の座標により生成される F の拡大次数である。無限積 Z(X, t) の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、 N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots } である。
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