ゼータ関数と数論的関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
「リーマンゼータ関数」の記事における「ゼータ関数と数論的関数」の解説
ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。 たとえば、ゼータ関数の逆数はメビウス関数 μ(n) を用いて 1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}} と表せる。この式と ζ(2) の値から、分布が一様であるという仮定の下、任意に取り出した2つの整数が互いに素である確率は 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} であることが証明できる。 自然数 n の（正の）約数の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数として定義され、それぞれ、d(n)、 σ(n) で表すことができる。このとき、 ζ ( s ) 2 = ∑ n = 1 ∞ d ( n ) n s {\displaystyle {\zeta (s)}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}} ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) = ∑ n = 1 ∞ σ ( n ) n s {\displaystyle {\zeta (s)}\,{\zeta (s-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}} が成り立ち、また、n と互いに素な n 以下の自然数の個数をオイラーのφ関数 φ(n) で表すとき、 ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}} なども成り立つ。
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