ゼータ関数の部分和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 06:54 UTC 版)
「1+2+3+4+…」の記事における「ゼータ関数の部分和」の解説
リーマンゼータ関数を部分和にした P s ( n ) = ∑ k = 1 n k − s = 2 s π s − 1 ( sin π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}=2^{s}\pi ^{s-1}(\sin {\frac {\pi s}{2}})\Gamma (1-s)\zeta (1-s)} を複素平面上にプロットした時、 s {\displaystyle s} の虚部に対して n {\displaystyle n} が十分大きくなると対数螺旋のような軌跡を描く。その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており、 s {\displaystyle s} の実部を − 1 {\displaystyle -1} として虚部を十分小さくした時にこの方法で P s ( n ) {\displaystyle P_{s}(n)} を観測すると −1/12に近似する(函数等式)。
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