ゼータ関数と素数計数関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
「リーマンゼータ関数」の記事における「ゼータ関数と素数計数関数」の解説
以下に素数分布、すなわち素数計数関数 π(x) とゼータ関数との関係を述べる。 まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数を展開する： log ζ ( s ) = log ∏ p 1 1 − p − s = ∑ p log 1 1 − p − s = ∑ p ∑ n = 1 ∞ 1 n p n s = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}} ここで各 n ≥ 1 について 1 p n s = s ∫ p n ∞ x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx} と変形して、先の式に代入すると log ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s = s ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p ∫ p n ∞ x − s − 1 d x = s ∑ n = 1 ∞ 1 n ∫ 1 ∞ π ( x 1 / n ) x − s − 1 d x {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x} 通常 Π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n π ( x 1 / n ) {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})} と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。 log ζ ( s ) s = ∫ 1 ∞ Π ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x)\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x} この公式に、メリン変換などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、π(x) を表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式 (explicit formula) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x) は π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n Π ( x 1 / n ) {\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\,\Pi (x^{1/n})} と書けることを注意しておこう。 ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。
※この「ゼータ関数と素数計数関数」の解説は、「リーマンゼータ関数」の解説の一部です。
「ゼータ関数と素数計数関数」を含む「リーマンゼータ関数」の記事については、「リーマンゼータ関数」の概要を参照ください。
- ゼータ関数と素数計数関数のページへのリンク
