ゼータ関数と素数計数関数とは? わかりやすく解説

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ゼータ関数と素数計数関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)

リーマンゼータ関数」の記事における「ゼータ関数と素数計数関数」の解説

以下に素数分布、すなわち素数計数関数 π(x) とゼータ関数との関係述べる。 まずゼータ関数オイラー積表示両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数展開するlog ⁡ ζ ( s ) = log ⁡ ∏ p 1 1 − p − s = ∑ p log1 1 − p − s = ∑ p ∑ n = 1 ∞ 1 n p n s = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}} ここで各 n ≥ 1 について 1 p n s = sp n ∞ x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx} と変形して先の式に代入すると log ⁡ ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s = s ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p ∫ p n ∞ x − s − 1 d x = sn = 1 ∞ 1 n ∫ 1 ∞ π ( x 1 / n ) x − s − 1 d x {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x} 通常 Π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n π ( x 1 / n ) {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})} と置いて最終的に上式は次のように書かれるlog ⁡ ζ ( s ) s = ∫ 1 ∞ Π ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x)\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x} この公式に、メリン変換などと呼ばれる積分反転公式を使うと、π(x) を表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式 (explicit formula) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x) は π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n Π ( x 1 / n ) {\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\,\Pi (x^{1/n})} と書けることを注意しておこう。 ゼータ関数零点分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度関連している。この予想純粋数学における最も重要な未解決問題であると考え数学者は多い。

※この「ゼータ関数と素数計数関数」の解説は、「リーマンゼータ関数」の解説の一部です。
「ゼータ関数と素数計数関数」を含む「リーマンゼータ関数」の記事については、「リーマンゼータ関数」の概要を参照ください。

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