ゼータ関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:00 UTC 版)
「チェビシェフ関数」の記事における「ゼータ関数との関係」の解説
第二チェビシェフ関数を補正した関数 ψ 0 ( x ) = lim h → 0 1 2 ( ψ ( x + h ) + ψ ( x − h ) ) = 1 2 ( ∑ n ≤ x Λ ( n ) + ∑ n < x Λ ( n ) ) = { ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) x = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … ψ ( x ) otherwise. {\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}\left(\psi (x+h)+\psi (x-h)\right)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} は、リーマンゼータ関数を使い、 ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ln ( 2 π ) − 1 2 ln ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}).} と表示できる。ここで ρ {\displaystyle \rho } はゼータ関数の非自明な零点すべてを走る。ゼータ関数の零点に関する考察から ψ 0 ( x ) ∼ x {\displaystyle \psi _{0}(x)\sim x} がわかり、ここから、前節の性質を用いて素数定理 π ( x ) ∼ x ln x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}} を導くことができる。
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