そすう‐ていり【素数定理】
素数定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 01:11 UTC 版)
素数定理（そすうていり、英: Prime number theorem、独: Primzahlsatz）とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。
注釈
- ^ x/π(x) は、おおよそのところ、x 以下における隣り合う素数の差の平均である。
出典
- ^ Gauss, C. F. (1863), Werke（全集）, 第2巻 (1st ed.), Göttingen: Teubner, pp. 444–447.
- ^ チェビシェフの定理を参照。
- ^ 1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」
- ^ Hadamard 1896.
- ^ Selberg 1949.
- ^ Erdős 1949.
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- ^ π(x):A006880
- ^ Difference between pi(10^n) and the integer nearest to 10^n / log(10^n).:A057835
- ^ Difference between nearest integer to Li(10^n) and pi(10^n), where Li(x) = integral of log(x) and pi(10^n) = number of primes <= 10^n:A057752
- ^ Integer nearest to 10^n / log(10^n). x:A057834
- ^ Integer nearest to Li(10^n), where Li(x) = integral(0..x, dt/log(t)).:A057754
- ^ “Conditional Calculation of pi(1024)”. Chris K. Caldwell. 2010年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年8月3日閲覧。
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素数定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 05:53 UTC 版)
18世紀末には、π(x) が x ln x {\displaystyle {\frac {x}{\operatorname {ln} x}}} に漸近近似できること、即ち lim x → ∞ π ( x ) x / ln x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} x}}=1} が成り立つであろうということが、カール・フリードリヒ・ガウスにより予想されていた。1850年頃にパフヌティ・チェビシェフは、この等式の左辺がもし極限を持つならば、それは1でなくてはならないことを示した。その後もこの予想は長らく証明されなかったが、1896年になってジャック・アダマールとシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン（英語版）により独立に証明され、現在では素数定理と呼ばれている。彼らの証明は、リーマンゼータ関数の性質を用いている。 長い間、解析的方法を用いなければ素数定理を証明することはできないと信じられていたが、1948年頃、アトル・セルバーグとポール・エルデシュは複素解析を用いない素数定理の証明を（ほぼ独立に）発見した。それらの証明では、数論的関数の初等的評価のみを用いていた。
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