算術級数の素数定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

算術級数の素数定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:49 UTC 版)

算術級数の素数定理（さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 a と公差 d が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を $\pi _{d,a}(x)$ で表すとき、

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「算術級数定理」の記事における「算術級数の素数定理」の解説

公差が a である等差数列は初項を 1 から a − 1 {\displaystyle a-1} の間に取るときその初項が a と互いに素であるものが φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} 通りある。ここで φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} はオイラーのφ関数である。これら φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} 個の等差数列に素数はそれぞれほぼ均等に分布している。素数定理の拡張として、次のように書ける。初項 b と公差 a が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を π a , b ( x ) {\displaystyle \pi _{a,b}(x)} で表すとき、 π a , b ( x ) ∼ 1 φ ( a ) L i ( x ) {\displaystyle \pi _{a,b}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (a)}}\mathrm {Li} (x)} ディリクレが算術級数定理を証明した当時、素数定理もまだ証明されていなかったためこの形は予想に過ぎなかったが、後に素数定理と同様にシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン（フランス語版）によって証明された。この定理を算術級数の素数定理と呼ぶ。

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「素数定理」の記事における「算術級数の素数定理」の解説

この定理はまた、算術級数（等差数列）中の素数に関しても拡張されており、これを算術級数の素数定理という：すなわち、算術級数 an + b (a > 0) に含まれる素数で、x 以下のものの数を πa,b(x) で表すとき、 π a , b ( x ) ∼ 1 ϕ ( a ) Li ⁡ x {\displaystyle \pi _{a,b}(x)\sim {\frac {1}{\phi (a)}}\operatorname {Li} x} が成り立つ。ここで φ(n) はオイラーの関数と呼ばれるもので、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルやペーター・グスタフ・ディリクレによって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounov により、より初等的な証明が発見された。詳細は「算術級数の素数定理」を参照

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