ジーゲル・ウォルフィッツの定理

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ジーゲル・ウォルフィッツの定理

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アーノルド・ウォルフィッツ

解析的整数論における、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(英: Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲルによる定理^[1]の算術級数における素数（英語版）(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ（英語版）(Arnold Walfisz)により得られた。^[2]

定理の内容

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)}$

と定義する。ここに ${\displaystyle \Lambda }$ はフォン・マンゴルト函数 で ${\displaystyle \phi }$ オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 ${\displaystyle C_{N}}$ が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ

${\displaystyle q\leq (\log x)^{N}}$

であるときは、必ず

${\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}$

となる。

注意

定数 ${\displaystyle C_{N}}$ は計算可能ではないため、ジーゲルの定理は有効でない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

となる。ここに N, a, q, C_N, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。

参考文献

1. ^ Siegel, Carl Ludwig (1935). “Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper [On the class numbers of quadratic fields]” (ドイツ語). Acta Arithmetica 1 (1): 83–86. http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav1i1p83bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-aa-1935-1-1;6. 
2. ^ Walfisz, Arnold (1936). “Zur additiven Zahlentheorie. II ”. Mathematische Zeitschrift 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882.  （ドイツ語）