証明の戦略
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:39 UTC 版)
「ヴィノグラードフの定理」の記事における「証明の戦略」の解説
定理の証明は、ハーディ-リトルウッドの円周法（英語版）(Hardy–Littlewood circle method)を使う。指数和（英語版）を S ( α ) = ∑ n = 1 N Λ ( n ) e ( α n ) {\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)} とすると、 S ( α ) 3 = ∑ n 1 , n 2 , n 3 ≤ N Λ ( n 1 ) Λ ( n 2 ) Λ ( n 3 ) e ( α ( n 1 + n 2 + n 3 ) ) = ∑ n ≤ 3 N r ~ ( n ) e ( α n ) {\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)} を得る。ここで r ~ {\displaystyle {\tilde {r}}} は N {\displaystyle N} 以下である素数のべきに限定した表現の数を表す。すると、 r ( N ) = ∫ 0 1 S ( α ) 3 e ( − α N ) d α {\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha } となる。 α {\displaystyle \alpha } が有理数 p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} であれば、 S ( α ) {\displaystyle S(\alpha )} は q {\displaystyle q} を法とした剰余類の中の素数の分布によって与えられる。従って、ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、小さな分母の有理数の近傍で、上記の整数の分布を計算することができる。そのような有理数に近い実数の集合は、通常、優弧(major arcs)と呼ばれる複数の区間を形成し、その補集合は劣弧(minor arcs)と呼ばれる。優弧区間は整数を支配することがわかるので、定理を証明するためには、劣弧に含まれる α {\displaystyle \alpha } に対する S ( α ) {\displaystyle S(\alpha )} の上限を求める必要がある。この見積もりが証明の最も難しいところである。 一般化されたリーマン予想を前提とすると、優弧で使った議論を劣弧へ拡張することができる。これは1923年にハーディとリトルウッドによってなされた。1937年、ヴィノグラードフは、 | S ( α ) | {\displaystyle |S(\alpha )|} の無条件での上限を与えた。彼の主張は、結果の項が複雑な方法で簡約整理されて得られる、単純なふるい法から始まる。1977年、ボブ・ヴォーン（英語版）(R. C. Vaughan)は、後日、ヴォーンの恒等式（英語版）(Vaughan's identity)として知られる恒等式に基づく、非常に簡素化された結果を発見した。彼は、 | α − a q | < 1 q 2 {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}} であれば、 | S ( α ) | ≪ ( N q + N 4 / 5 + N q ) log 4 N {\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N} となることを証明した。ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、 log N {\displaystyle \log N} のべきの違いを区別せず q {\displaystyle q} を扱うことができ、ディリクレの近似定理を使うと、劣弧上で | S ( α ) | ≪ N log A N {\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}} を得ることができる。したがって、劣弧の区間の境界は、 C N log A N ∫ 0 1 | S ( α ) | 2 d α ≪ N 2 log A − 1 N {\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}} , により制限され、これが定理の誤差項（補助項）を与える。
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