証明の概略と一般化について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 00:24 UTC 版)
「クラメルの公式」の記事における「証明の概略と一般化について」の解説
証明のために、単位行列の第 i-列を方程式 Ax = b の変数ベクトル x に置き換えて得られる行列 Xi を考える。例えば n = 4 のときの X2 は X 2 = [ 1 x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 1 0 0 x 4 0 1 ] {\displaystyle X_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0&0\\0&x_{3}&1&0\\0&x_{4}&0&1\end{bmatrix}}} で与えられる。このとき、AXi = Ai および det(Xi) = xi となることが示せる。実際、いま挙げた例では A ⋅ X 2 = [ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ] ⋅ [ 1 x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 1 0 0 x 4 0 1 ] = [ a 11 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 a 13 a 14 a 21 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 a 23 a 24 a 31 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 a 33 a 34 a 41 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 a 43 a 44 ] = [ a 11 b 1 a 13 a 14 a 21 b 2 a 23 a 24 a 31 b 3 a 33 a 34 a 41 b 4 a 43 a 44 ] = A 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot X_{2}&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0&0\\0&x_{3}&1&0\\0&x_{4}&0&1\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&b_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&=A_{2}\end{aligned}}} が成り立っている。また行列式の乗法性により det ( A ) ⋅ det ( X i ) = det ( A i ) det ( A ) ⋅ x i = det ( A i ) x i = det ( A i ) ⋅ det ( A ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)\cdot \det(X_{i})&=\det(A_{i})\\\det(A)\cdot x_{i}&=\det(A_{i})\\x_{i}&=\det(A_{i})\cdot \det(A)^{-1}\end{aligned}}} となる。仮定により det(A) ≠ 0 ゆえ det(A)−1 が存在することに注意。 証明の内容を省みれば、クラメルの法則の成立は以下の定理 正方線型方程式系 Ax = b が与えられたとき、x = (x1, x2, …, xn) がこの方程式系の解であるならば、各 i について det(A)xi = det(Ai) が成り立つ。 に集約されることがわかる。もちろん行列 Ai は行列 A の第 i-列を系の右辺である b で置き換えて得られる行列である。方程式の解が一意であるという仮定を外せば、割り算を実行することができないことも起こり得るが、いま述べた形の定理であれば、方程式系の係数が可換環に値をとる場合も含めて常に成立するが、これはもはやクラメルの法則と呼ばれることはない。
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