証明のスケッチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:17 UTC 版)
「リーマンの写像定理」の記事における「証明のスケッチ」の解説
U と U の中の点 z0 が与えられたとすると、U を 単位円板へ z0 を 0 へ移すような函数 f を構成したい。これをスケッチするために、リーマンが行ったように、U は有界で境界が滑らかと仮定しよう。また、 f ( z ) = ( z − z 0 ) e g ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)}} と書くこととする。ここに g = u + iv は、実部が u で虚部が v であるような正則函数（を定義するために）とおく。すると、明らかに、z0 は f の唯一のゼロ点である。全ての z ∈ ∂U に対して、|f(z)| = 1 を要求すると、境界上では u ( z ) = − log | z − z 0 | {\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|} が必要となる。u は正則函数の実部であるので、u が必然的に調和函数となり、すなわち、ラプラス方程式を満たす。 従って、問題は次のようになる。全ての U の上で定義され、与えられた境界をもつ実数に値をもつ調和函数 u は存在するであろうか？これへの肯定的な回答はディリクレの原理で与えられる。一度 u の存在が確立すると、正則函数 g のコーシー・リーマンの関係式より、v を見つけることができる（この議論は U が単連結であるという前提に依存する）。一度、u と v が構成されると、結果として現れる函数 f が実際に全て要求された性質を満たすことをチェックする必要がある。
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証明のスケッチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/05 08:32 UTC 版)
極小な一般型という条件からは、K2 > 0 が従う。このことから、不等式はそうでない場合は自動的に成立することから、pg > 1 を前提とする。特に、ここでは有効因子(effective divisor) D が K を表していることを前提とする。すると、完全系列 0 → H 0 ( O X ) → H 0 ( K ) → H 0 ( K | D ) → H 1 ( O X ) → {\displaystyle 0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to } が成り立つので、 p g − 1 ≤ h 0 ( K | D ) {\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D})} を得る。 D が滑らかであることを前提とする。随伴公式により、D は標準ラインバンドル O D ( 2 K ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)} を持つので、 K | D {\displaystyle K|_{D}} は特別因子（英語版）(special divisor)であり、クリフォードの不等式（英語版）(Clifford inequality)が適用され、 h 0 ( K | D ) − 1 ≤ 1 2 d e g D ( K ) = 1 2 K 2 {\displaystyle h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\mathrm {deg} _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}} を得る。 一般に、本質的に同じ議論が、自明ラインバンドルの1-次元切断や双対化されたラインバンドルとの局所完全交叉へ、より一般化されたクリフォードの不等式を使って適用される。曲線 D は、付加公式と D は数値的に連結であるという事実により、これらの条件を満たす。
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証明のスケッチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/21 05:36 UTC 版)
アーベルの総和公式： ∑ 1 ≤ n ≤ M a n ϕ ( n ) = A ( M ) ϕ ( M ) − ∫ 1 M A ( x ) ϕ ′ ( x ) d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx} において ϕ ( x ) = x − s {\displaystyle \phi (x)=x^{-s}} とおき、 ∑ 1 ≤ n ≤ M a n n − s = A ( M ) M − s + s ∫ 1 M A ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx} M → ∞ {\displaystyle M\to \infty } とすると R e ( s ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0} だから右辺第1項は消えて g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x − ( s + 1 ) d x {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx} 変数変換 x = e t {\displaystyle x=e^{t}} をして変形すると、 g ( s ) s = ∫ 0 ∞ A ( e t ) e − s t d t {\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt} この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により A ( e t ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z e t z d z {\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz} A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z x z d z {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz}
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証明のスケッチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:35 UTC 版)
「ポアンカレ・ホップの定理」の記事における「証明のスケッチ」の解説
1. ある高次元ユークリッド空間の中へ M を埋め込む。（ホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)を使う。） 2. ユークリッド空間中で M の小さな近傍 Nε を取る。この近傍にベクトル場を拡張し、同じ零点と同じ指数を持つようにする。加えて、拡張されたベクトル場がNε の境界上で外向きであることを確認する。 3. もとのベクトル場（および新しいベクトル場）の零点の指数の和は、Nε の境界から (n–1)-次元球面へのガウス写像(Gauss map)の次数に等しい。よって指数の和はベクトル場とは独立で、多様体 M のみに依存している。技術的には、ベクトル場のすべての零点をその小さな近傍とともに取り去った後、「n-次元多様体の境界から (n–1)-次元球面への写像の次数は、その写像がn-次元多様体全体に拡張できるとき、0 である」という事実を使う。 4. 最後に、この指数の和を M のオイラー標数と同定する。そのために、M の三角形分割（英語版）(triangulation)を使って、指数の和がオイラー標数に等しいことが明らかなベクトル場をひとつ構成する。
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証明のスケッチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:53 UTC 版)
「レフシェッツ不動点定理」の記事における「証明のスケッチ」の解説
最初に、単体近似定理（英語版）(simplicial approximation theorem)を適用して、f 不動点を持たないければ f は固定点を持たない（すなわち、各々の単体を異なる単体へ写像する）単体写像（英語版）(simplicial map)にホモトピックである（X を割った後で）。このことは、X の単体鎖複体(simplicial chain complex)の線型写像の行列の対角値が全て 0 となるまずである。すると、一般にレフシェッツ数は前に述べた線型写像の行列のトレースの交代和を使い計算することができる（このことはほぼ同様の理由で、オイラー標数はホモロジー群のことばにより定義される。#オイラー標数との関係を参照）。特に、不動点を持たない単体写像は、全ての対角値が 0 であるので、全てトレースは 0 である。
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