証明のあらましとは? わかりやすく解説

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証明のあらまし

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/06/07 18:16 UTC 版)

自然な証明」の記事における「証明のあらまし」の解説

自然な証明限界に関する証明のあらましを示す。以下は岡本 (2009, p. 23)の紹介記事を更に簡略化しているので、厳密ではない。 「擬似乱数生成器存在する」ことと「性質Cn用いた自然な証明により、多項式サイズ回路集合Sの下界示された」ことを仮定し背理法用いる。 まず、擬似乱数生成器存在より、擬似ランダム関数Fn構成できること言える擬似ランダム関数とは、直感的には十分ランダムに見え出力返す関数であり、真のランダム関数との間で両者識別するような多項式時間アルゴリズム存在しないものを指す。Fn多項式サイズ回路計算できるので、性質Cnが「有用」であることにより、Fn性質Cn持たない一方真のランダム関数Rnは定義より集合Sに含まれず、性質Cnが「広い」ことにより、一定上の確率性質Cnを持つ。性質Cnはまた「構成的」なので、FnおよびRn性質Cnを持つかを判定する効率的な(Nの多項式時間の)アルゴリズムDN存在する。従ってDNFn判定する結果は常に「性質Cn持たない」となり、Rn判定する一定上の確率で「性質Cnを持つ」ことが判る。これはある意味擬似ランダム関数破っている。これを用いて暗号分野標準的な手法適用すると、更に翻ってFn構成用いた擬似乱数生成器破られることに繋がり、「擬似乱数生成器存在する」という仮定矛盾する。 ところが、この仮定棄却することは難しい。例えば「素因数分解困難性」などの暗号分野基礎を成す仮定から容易に導出できるからである。このためもう一つ仮定である「性質Cn用いた自然な証明により、多項式サイズ回路集合Sの下界示された」が棄却されることになる。

※この「証明のあらまし」の解説は、「自然な証明」の解説の一部です。
「証明のあらまし」を含む「自然な証明」の記事については、「自然な証明」の概要を参照ください。

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