証明のまとめ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 15:43 UTC 版)
式(3-1)に式(3-2)を代入すると、 F ( x , y ) = f y ( x ) = ∑ n ∈ Z c n ( y ) exp ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ( ∑ m ∈ Z c n , m exp ( 2 π i m y ) ) exp ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ∑ m ∈ Z c n , m exp ( 2 π i m y ) exp ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ∑ m ∈ Z c n , m exp ( 2 π i ( n x + m y ) ) = ∑ ( n , m ) ∈ Z 2 c n , m exp ( 2 π i ( n x + m y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=f_{y}(x)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(y)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)\right)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi i(nx+my))\\&=\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}c_{n,m}\exp(2\pi i(nx+my))\end{aligned}}} を得る。
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