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埋め込み (数学)

(embedding から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)

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埋め込み(うめこみ、embedding, imbedding[1])とは、数学的構造間の構造を保つような単射のことである。

トポロジーと幾何学

位相空間論

位相空間論において、埋め込みとは、像の上への同相写像のことである[2]。つまり、位相空間 XY の間の単射連続写像 f: XY であって、(f(X) には Y相対位相を入れて)fXf(X) の間の同相写像であるようなもののことである。

与えられた空間 X に対し、埋め込み XY の存在は X位相的性質である。これによって2つの位相空間を、一方がある空間に埋め込めて他方はできないならば、区別することができる。

微分トポロジー

微分トポロジーにおいて: MN を滑らかな多様体とし、f: MN を滑らかな写像とする。このとき fはめ込みとは、微分がいたるところ単射であることをいう。埋め込み (embedding)、あるいは滑らかな埋め込み (smooth embedding) は、上に述べた位相的な意味で埋め込みであるような(すなわち像の上への同相写像であるような)単射はめ込みと定義される[3]

言い換えると、埋め込みは像への微分同相であり、とくに埋め込みの像は部分多様体でなければならない。はめ込みは局所的な埋め込みである(すなわち任意の点 xM に対し、近傍 xUM が存在して、f: UN は埋め込みである)。

リーマン幾何学

リーマン幾何学において: (M, g) と (N, h) をリーマン多様体とする。等長埋め込み (isometric embedding) とは、滑らかな埋め込み f: MN であって計量を保つもの、つまり ghf による引き戻し英語版に等しい、すなわち g = f*h であるようなもののことである。明示的には、任意の2つの接ベクトル

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