divisor

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約数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/23 07:36 UTC 版)

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数学において整数 N の約数（やくすう、英: divisor）とは、N を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、英: factor）が使われることが多い。特に素数である約数を「素因数」と言う（素約数とも言われた^[1][2]）。

整数 a が整数 N の約数であることを、記号 | を用いて a | N と表す。

約数の定義を式で表すと、「整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある（その場合、N = 0 のとき 0 も約数になる）。

自然数（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。

定義

整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、「ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある。このときは、N = 0 のときに限り 0 も約数になる。約数が無数にある整数は 0 だけである。

負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。

どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …（オンライン整数列大辞典の数列 A40）

は素数であるが、12 の約数は、

12 ÷ 1 = 12

12 ÷ 2 = 6

12 ÷ 3 = 4

12 ÷ 4 = 3

12 ÷ 6 = 2

12 ÷ 12 = 1

より、1, 2, 3, 4, 6, 12 の6個である。

合成数の列は

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …（オンライン整数列大辞典の数列 A002808）

例えば 60 は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「a が N の約数ならば、N/a も N の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。

60 の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 60/6, 60/5, 60/4, 60/3, 60/2, 60/1

一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。

36 の約数：1, 2, 3, 4,6(=36/6), 36/4,36/3, 36/2, 36/1

一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。

N の素因数分解を N = 2^a₁3^a₂5^a₃⋯ とすると、N の約数の個数は (a₁ + 1)(a₂ + 1)(a₃ + 1)⋯個

素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の基本定理という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：

60 = 2² × 3 × 5 より、

60 の約数：2^a × 3^b × 5^c (0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1)

約数に関する定義と性質

• 整数 N に対して、±1, ±N を N の自明な約数という。自明でない約数を真の約数という。
• 0 の約数は、全ての（0 でない）整数である。
• 自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。これは約数関数 σ_x の x = 0 の場合である。

N の素因数分解を N = 2^a₁3^a₂5^a₃⋯ とすると、

d(N) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)(a₃ + 1)⋯

約数の個数

自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。

• N の素因数分解を N = 2^a₁3^a₂5^a₃… とすると、d(N) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)(a₃ + 1)…

個数	数	概要	OEIS
1	1
2	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …	素数	オンライン整数列大辞典の数列 A000040
3	4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, …	素数の自乗	オンライン整数列大辞典の数列 A001248
4	6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, …	素数の立方 pq（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030513
5	16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, …	素数の4乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030514
6	12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, …	素数の5乗 pq2（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030515
7	64, 729, 15625, 117649, 1771561, …	素数の6乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030516
8	24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88, …	素数の7乗 楔数 pq3（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030626
9	36, 100, 196, 225, 256, 441, 484, 676, …	素数の8乗 p2q2（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030627
10	48, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, …	素数の9乗 pq4（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030628
11	1024, 59049, 9765625, 282475249, …	素数の10乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030629
12	60, 72, 84, 90, 96, 108, 126, 132, 140, 150, …	素数の11乗 p2q3 pq5 pqr2（p, q, r は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030630
13	4096, 531441, 244140625, …	素数の12乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030631
14	192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, …	素数の13乗 pq6（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030632
15	144, 324, 400, 784, 1936, 2025, 2500, 2704, …	素数の14乗 p2q4（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A030633
16	120, 168, 210, 216, 264, 270, 280, 312, 330, …		オンライン整数列大辞典の数列 A030634
17	65536, 43046721, 152587890625, …	素数の16乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030635
18	180, 252, 288, 300, 396, 450, 468, 588, 612, …		オンライン整数列大辞典の数列 A030636
19	262144, 387420489, 3814697265625, …	素数の18乗	オンライン整数列大辞典の数列 A030637
20	240, 336, 432, 528, 560, 624, 648, 810, 816, …		オンライン整数列大辞典の数列 A030638
21	576, 1600, 2916, 3136, 7744, 10816, …	素数の20乗 p2q6（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A137484
22	3072, 5120, 7168, 11264, 13312, 17408, …	素数の21乗 pq10（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A137485
23	4194304, 31381059609, 2384185791015625, …	素数の22乗	オンライン整数列大辞典の数列 A137486
24	360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, …		オンライン整数列大辞典の数列 A137487
25	1296, 10000, 38416, 50625, 194481, …	素数の24乗 p4q4（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A137488
26	12288, 20480, 28672, 45056, 53248, 69632, …	素数の25乗 pq12（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A137489
27	900, 1764, 2304, 4356, 4900, 6084, 6400, …		オンライン整数列大辞典の数列 A137490
28	960, 1344, 1728, 2112, 2240, 2496, 3264, …		オンライン整数列大辞典の数列 A137491
29	268435456, 22876792454961, …	素数の28乗	オンライン整数列大辞典の数列 A137492
30	720, 1008, 1200, 1584, 1620, 1872, 2268, …		オンライン整数列大辞典の数列 A137493
31	1073741824, 205891132094649, …	素数の30乗	オンライン整数列大辞典の数列 A139571
32	840, 1080, 1320, 1512, 1560, 1848, 1890, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175742
33	9216, 25600, 50176, 123904, …	素数の32乗 p2q10（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175743
34	196608, 327680, 458752, 720896, …	素数の33乗 pq16（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175744
35	5184, 11664, 40000, 153664, 250000, …	素数の34乗 p4q6（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175745
36	1260, 1440, 1800, 1980, 2016, 2100, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175746
37	68719476736, 150094635296999121, …	素数の36乗	オンライン整数列大辞典の数列 A139572
38	786432, 1310720, 1835008, …	素数の37乗 pq18（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175747
39	36864, 102400, 200704, 495616, …	素数の38乗 p2q12（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175748
40	1680, 2160, 2640, 3024, 3120, 3240, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175749
41	1099511627776, 12157665459056928801, …	素数の40乗	オンライン整数列大辞典の数列 A139573
42	2880, 4032, 4800, 6336, 7488, 9408, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175750
43	4398046511104, 109418989131512359209, …	素数の42乗	オンライン整数列大辞典の数列 A139574
44	15360, 21504, 27648, 33792, 35840, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175751
45	3600, 7056, 8100, 15876, 17424, 19600, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175752
46	12582912, 20971520, 29360128, …	素数の45乗 pq22（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175753
47	70368744177664, 8862938119652501095929, …	素数の46乗	オンライン整数列大辞典の数列 A139575
48	2520, 3360, 3780, 3960, 4200, 4320, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175754
49	46656, 1000000, 7529536, 11390625, …	素数の48乗 p6q6（p, q は異なる素数）	オンライン整数列大辞典の数列 A175755
50	6480, 9072, 14256, 16848, 22032, …		オンライン整数列大辞典の数列 A175756

上記の表で先頭の数はオンライン整数列大辞典の数列 A005179を参照。

• 正の約数の個数の列は

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000005）

• 正の約数の個数が奇数である自然数は平方数に限られる。
• 正の約数の個数が自分自身までのどの自然数よりも大きい自然数（252の倍数に多い）については高度合成数を参照。
• 正の約数の個数の総和の列は

1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, …（オンライン整数列大辞典の数列 A006218）

• 正の約数の個数の総和が自身の整数倍になる数の列は

1, 4, 5, 15, 42, 44, 47, 121, 336, 340, 347, 930, 2548, …（オンライン整数列大辞典の数列 A050226）

このときの約数の個数の総和はオンライン整数列大辞典の数列 A218464を参照。

• 約数の個数が三角数になる三角数の列は

1, 28, 45, 153, 171, 325, 496, 2016, 3321, …（オンライン整数列大辞典の数列 A116541）

• 約数の個数が三角数になる三角数で前の約数の個数を上回る数の列は

1, 28, 496, 2016, 41616, 270480, …（オンライン整数列大辞典の数列 A076172）

• 自身の約数の個数で割りきれる数は

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132, 136, 152, 156, 180,…(オンライン整数列大辞典の数列 A033950)

約数の和

自然数 N の正の約数の和を、約数関数 σ(N) で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。

N の素因数分解を N = 2^a₁3^a₂5^a₃… とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&=(1+2^{1}+\cdots +2^{a_{1}})(1+3^{1}+\cdots +3^{a_{2}})(1+5^{1}+\cdots +5^{a_{3}})\cdots \\&={\frac {2^{a_{1}+1}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{a_{2}+1}-1}{3-1}}\cdot {\frac {5^{a_{3}+1}-1}{5-1}}\cdot \cdots \end{aligned}}}$

因数分解による分類

• 素数
• 合成数
• 半素数
• 矩形数
• 楔数
• 平方因子をもたない整数
• 多冪数
• 累乗数
• アキレス数
• 滑らかな数（英語版）
• ハミング数（英語版）
• 粗い数（英語版）
• 異常数（英語版）

約数和による分類

• 完全数
• 概完全数
• 準完全数
• 倍積完全数
• Hemiperfect number（英語版）
• ハイパー完全数
• 超完全数
• 単完全数（英語版）
• 擬似完全数
• プラクティカル数
• エルデシュ・ニコラス数（英語版）

約数が多いもの

• 過剰数
• 原始過剰数（英語版）
• 高度過剰数
• 超過剰数
• 巨大過剰数
• 高度合成数
• 優高度合成数（英語版）
• 不思議数

アリコット数列関連

• アンタッチャブル数（英語版）
• 友愛数 (友愛三数（英語版）)
• 社交数
• 婚約数

位取り記法に基づくもの

• Equidigital number（英語版）
• Extravagant number（英語版）
• Frugal number（英語版）
• ハーシャッド数
• Polydivisible number（英語版）
• スミス数

その他

• Arithmetic number（英語版）
• 不足数
• Friendly number（英語版）
• Solitary（英語版）
• サブライム数
• 調和数
• デカルト数（英語版）
• タウ数
• 超完全数