友愛数

デジタル大辞泉

ゆうあい‐すう〔イウアイ‐〕【友愛数】

読み方：ゆうあいすう

自然数aとbにおいて、a以外の約数（1を含む）の和がbとなり、b以外の約数（1を含む）の和がaとなる、二組みの自然数。例えば、220の約数は、「1」「2」「4」「5」「10」「11」「20」「22」「44」「55」「110」で、この合計が「284」となる。一方284の約数は、「1」「2」「4」「71」「142」で、この合計が「220」となる。親和数。→完全数 →過剰数 →不足数

[補説] 「220」「284」以外の友愛数は、17世紀中ごろに、P＝フェルマが「17296」「18416」を、デカルトが「9363584」「9437056」を見つけ、18世紀には、L＝オイラーが60組み余りを発見した。

算数用語集・数学用語集

友愛数

ふたつの自然数のうち、一方のすべての約数（その数自身を除く）の和が他方の数自体と等しくなる数を友愛数という。

親和数ともいう。

例：220と284

220の全約数の和（その数自身を除く）

• 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

284全約数の和（その数自身を除く）

• 1+2+4+71+142=220

このふたつの数は親和数である。

例：1184と1210

1184全約数の和（その数自身を除く）

• 1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210の全約数の和（その数自身を除く）

• 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184

このふたつの数は親和数である。

参考

• 過剰数
• 不足数
• 完全数
• 親和数

ウィキペディア

友愛数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/02 09:48 UTC 版)

友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）とは、異なる 2 つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう 。親和数（しんわすう）、友数（ゆうすう）とも呼ばれる。

最小の友愛数の組は (220, 284) である。

220 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 で、和は 284 となる。一方、284 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 71, 142 で、和は 220 である。

友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた（ダンブリクス Damblichus）。現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。

(220, 284) の次に求められた友愛数は (17296, 18416) である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより 60 余りの友愛数が求められている。

なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。

定義

異なる2つの自然数 n, m の組が友愛数であるとは

σ₁(n) = σ₁(m) = n + m となることである。ここで、σ₁(n) 、σ₁(m) は約数関数である。

友愛数の例

友愛数の組を小さい順に列記すると

(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), …（オンライン整数列大辞典の数列 A063990）

小さい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002025、大きい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002046 を参照。

友愛数を生成する法則

注意点として、以下の法則は全ての友愛数の組に対して成立するわけではない。例えば、(220, 284), (17296, 18416), (9363584, 9437056) は法則を満たしているが、(6232, 6368) は友愛数であるにもかかわらず法則を満たさない。

サービト・イブン＝クッラの法則

850年頃にサービト・イブン＝クッラによって友愛数を求めることができる可能性のある関係式が導き出されている。

p = 3 × 2ⁿ⁻¹ − 1,

q = 3 × 2ⁿ − 1,

r = 9 × 2²ⁿ⁻¹ − 1,

ここで、n は 2 以上の整数、p, q, r は素数であるような n, p, q, r が存在したとき、2ⁿpq と 2ⁿr は友愛数の対となる。

オイラーの法則

オイラーの法則は、サービト・イブン＝クッラの法則を一般化したものである。

p = (2^n−m + 1) × 2^m − 1,

q = (2^n−m + 1) × 2ⁿ − 1,

r = (2^n−m + 1)² × 2^m+n − 1,

m は m < n を満たす正の整数としたとき、サービト・イブン＝クッラの法則と同様に 2ⁿpq と 2ⁿr は友愛数の対となる。

サービト・イブン＝クッラの法則は、オイラーの法則の m = n − 1 の場合であるといえる。

未解決問題

• 友愛数の組は無数に存在するか？

x が大きいとき、x より小さい友愛数の個数は $xe^{(\log x)^{-{\frac {1}{3}}}}$

因数分解による分類

• 素数
• 合成数
• 半素数
• 矩形数
• 楔数
• 平方因子をもたない整数
• 多冪数
• 累乗数
• アキレス数
• 滑らかな数
• ハミング数
• 粗い数
• 異常数

約数和による分類

• 完全数
• 概完全数
• 準完全数
• 倍積完全数
• Hemiperfect number
• ハイパー完全数
• 超完全数
• 単完全数
• 擬似完全数
• プラクティカル数
• エルデシュ・ニコラス数

約数が多いもの

• 過剰数
• 原始過剰数
• 高度過剰数
• 超過剰数
• 巨大過剰数
• 高度合成数
• 優高度合成数
• 不思議数

アリコット数列関連

• アンタッチャブル数
• 友愛数 (友愛三数)
• 社交数
• 婚約数

位取り記法に基づくもの

• Equidigital number
• Extravagant number
• Frugal number
• ハーシャッド数
• Polydivisible number
• スミス数

その他

• Arithmetic number
• 不足数
• Friendly number
• Solitary
• サブライム数
• 調和数
• デカルト数
• タウ数
• 超完全数

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友愛数 (amicable pair)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 03:48 UTC 版)

「完全数」の記事における「友愛数 (amicable pair)」の解説

自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。